lunes, 29 de diciembre de 2008

Ejercicio: Programación Lineal - Resolución Gráfica - Análisis de Sensibilidad

Una compañía forestal tiene un predio de 100 hectáreas de bosques para explotar. Talar y dejar el suelo para uso agrícola tiene un costo inmediato de M$10 por hectárea y un retorno posterior de M$50 por hectárea. Una alternativa es talar y plantar pino que tiene un costo inmediato de M$50 por hectárea y un retorno posterior de M$120 por hectárea. De aquí que los beneficios netos de ambos planes sean de M$40 y M$70 por hectárea, respectivamente. Desafortunadamente, el segundo plan no puede ser aplicado a todo el terreno ya que sólo se dispone de recursos inmediatos por M$4.000.
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a) Formule y resuelva gráficamente un modelo de Programación Lineal que provea el plan más eficiente de explotación, indicando claramente la solución óptima y valor óptimo.

X: Hectáreas para talar y dejar para uso agrícola
Y: Hectáreas para talar y plantar pino

Gráfico (Dominio, Curvas de Nivel, Restricciones):

b) Suponga que usted puede solicitar un préstamo por M$1.000 por el cual deberá retornar con posterioridad el monto de M$1.400 (una vez concluidos los proyectos). Sin reoptimizar, ¿tomaría usted estos recursos adicionales?

El Análisis de Sensibilidad para la parte b) y c) se puede hacer gráficamente siguiendo los criterios detallados en el siguiente link. En cuanto a este caso particular se tiene:

Máxima variación: (0,100)
Mínima variación: (100,0)

Z(Max Var) = 40*0 + 70*100 = 7.000
Z(Min Var) = 40*100 + 70*0 = 4.000
R1(Max Var) = 10*0 + 50*100 = 5.000
R1(Min Var) = 10*100 + 50*0 = 1.000

Precio Sombra R1 = (7.000 – 4.000) / (5.000 – 1.000) = 3/4

El aumento del lado derecho (1.000) se encuentra en el rango donde el precio sombra es válido (hasta 5.000)

Por tanto el aumento en el beneficio total es:

1000 * Precio Sombra = 1000 * 3/4 = 750
Es decir, nuevo V(P) =6.250 + 750 = 7.000
Donde el aumento (M$750) es claramente inferior al costo adicional (M$1.400) por tanto no se tomarían estos recursos adicionales.


c) Sin resolver nuevamente el problema, obtener la solución óptima de inversión que resulta al aumentar los retornos posteriores de la primera alternativa de M$50 a M$60.

Esta variación es equivalente a cambiar el coeficiente de X en la función objetivo de M$40 a M$50.

Luego, analizamos si esta variación esta contenida en el intervalo de C1 que garantiza la actual solución óptima: (Para C2=70)

- 1 <= -C1/C2 <= -1/5

C1 puede variar entre {14, 70} y se conserva la actual solución óptima. Luego la variación propuesta no produce un cambio en la actual solución óptima.

Propuesta:
Resolver el ejercicio propuesto utilizando el Método Simplex.
Puede usar la herramienta de resolución por Simplex y apoyarse en el Análisis de Sensibilidad que hace uso de la tabla final de este método.

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